TD 2020 MATHEMATIQUES

ENNONCE

Exercice (5 points)
1. Déterminer les racines carrées du nombre complexe : $3 + 4i$. 0,5pt
2. On considère dans C l'équation (E) : ${z^3} - (5 + 3i){z^2}$ $+ (5 + 8i)z$ $- 1 - 5i = 0$
a. Montrer que l'équation (E) admet une unique racine réelle ${z_0}$ que l’on déterminera. 0,5 pt
b. Résoudre dans C l’équation (E). 1 pt
3. Dans le plan affine euclidien, on considère le triangle ABC rectangle et isocèle en A tel que : AB = AC = a (avec a >0.)
a. Déterminer et construire le barycentre G des points pondérés (A, 4) ;(B; -1)et (c ; -1) 0,5 pt
b. Déterminer l'ensemble (E₁) des points M du plan tels que : $4M{A^2} - M{B^2}$ $- M{C^2} = 2{a^2}$ 1,5 pt
(On ne demande pas la construction de l'ensemble (E₁))
4. Le plan affine est muni d’un repère orthonormé direct $\left( {O;\vec i,\vec j} \right)$, on considère les points A(l; 0),B(l; -3) et C(-2; 0).
a. Déterminer la forme complexe de la similitude directe S de centre A, qui transforme B en C. 0,5pt
b. Déduire les éléments caractéristiques de S. 0,5pt

Exercice 2 (4 points)
1. Un atelier comporte deux machines M₁ et M₂ fonctionnant de manière indépendante. Les probabilités de défaillance de chacune de ces machines sont respectivement 0,02 pour M₁ et 0,03 pour M2.
On considère les événements suivants :
A : « la machine M₁ est défaillante »
B : « la machine M₃ est défaillante »
Déterminer les probabilités :
a. P₁ d’avoir les deux machines défaillantes. 0,75 pt
b. P₂ d'avoir une seule machine défaillante. 0,75 pt
Il. L'on a étudié au cours d’un certain nombre d’années le capital de cet atelier en milliards de francs CFA et ses dépenses en publicité en millions. On obtient le tableau ci-dessous :

Capital ($x_i$)	13	9	10	15	18	11	6
Dépenses en publicités ($y_i$)	2,5	1,7	1,9	2,8	1,53	2,1	1,1

a. Représenter le nuage de points associé à cette série dans un repère orthogonal. 1 pt
b. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. 0,5 pt
c. Déterminer la covariance de x et y notée cov(xy). 1 pt

Problème (l1 points)
La partie C est indépendante des autres parties.

Partie A : (5,5 points)
f est une fonction numérique de la variable réelle x définie par $f(x) =$ $\frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}$
1. Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation. 2 pts
2. Déterminer les asymptotes de la courbe (C) de f. 0,5 pt
3- Montrer que le point I(l; -l) de rencontre des asymptotes est centre de symétrie de (C ). 1 pt
4. a. Tracer (C) dans un repère orthonormé $\left( {O;\vec i,\vec j} \right)$, (unité sur les axes : 1cm). 1 pt
b. Calculer l’aire du domaine plan limité par (C), les droites d’équations $y = x - 2$ , $x = - 1$ et l'axe des ordonnées. 1 pt

Partie B : (2,5points)
${\left( {{U_n}} \right)_{n \in N}}$ est une suite numérique définie par :
$\left\{ \begin{array}{l}{U_0} = 10\\{U_{n + 1}} = f\left( {{U_n}} \right)\end{array} \right.$
1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, ${{U_n} \ge 3}$ 1 pt
2. a. Montrer que la suite (Un) est décroissante. 0,5pt
b. (Un) est-elle convergente ? Justifier votre réponse. 0,25pt
3. a. Résoudre dans R l’équation $f(a) = a$. 0,25pt
b. Trouver la limite de $\left( {{U_n}} \right)$ quand n tend vers l’infini . 0,5pt

Partie C : (3points)
On considère l’équation différentielle (D) : $y'' + 2y' +$ $y = - x - 2$
1. Déterminer une fonction affine g solution de (D). l pt
2. Montrer qu’une fonction h deux fois dérivable sur R est solution de (D) si et seulement si la fonction $h - g$ est solution de l’équation différentielle (D’): $y'' + 2y'$ $+ y = 0$ 0,5pt
3. Résoudre l’équation différentielle (D’) et en déduire la solution h de (D) vérifiant
$\left\{ \begin{array}{l}h(0) = - 1\\h'(0) = - 1\end{array} \right.$ 1,5 pt

CORRECTION

Exercice I / 5 pts
1. Déterminons les racines carrées de $3 + 4i$ 0,5 pt
Soit $u = a - ib$ avec $(a,b \in {R^2})$ un nombre complexe tel que ${u^2} = 3 + 4i$, après développement nous obtenons ${u^2} = {a^2} - {b^2}$ $+ 2iab$ et
$\left| {{u^2}} \right| = {a^2} + {b^2}$ $= \sqrt {{3^2} + {4^2}}$ soit le système d’équation $\left\{ \begin{array}{l}2ab = 4\\{a^2} - {b^2} = 3\\{a^2} + {b^2} = 5\end{array} \right.$ ainsi $\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.$ ou $\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 1\end{array} \right.$ 0,5pt
2.a) Montrons que (E) admet une unique solution réelle z₀ 0,5 pt
x est une solution réelle de (E )
${x^3} - (5 + 3i){x^2}$ $+ (5 + 8i)x$ $- 1 - 5i = 0$ en séparant la partie réelle de la partie imaginaire nous avons :
Partie réelle
${x^3} - 5{x^2} +$ $5x - 1 = 0$
Partie imaginaire
$3{x^2} - 8x$ $+ 5 = 0$ de solution $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{5}{3}\end{array} \right.$ ainsi, $x = 1$ vérifie l’équation découlant de la partie réelle, nous pouvons donc conclure que ${z_0} = 1$ est solution unique réelle.
2.b) Résolutions de l’équation (E ) 1 pt
${z^3} - (5 + 3i){z^2}$ $+ (5 + 8i)z$ $- 1 - 5i =$ $(z - 1)$ $({z^2} + az + b)$
Après développement du second membres, nous obtenons par identification $\left\{ \begin{array}{l}a = - 4 - 3i\\b = 1 + 5i\end{array} \right.$
D’où $\left\{ \begin{array}{l}z0 = 1\\{z_1} = 1 + i\\{z_2} = 3 + 2i\end{array} \right.$
3.a) Détermination de G 0,5 pt
G est barycentre des points (A,4) et (I,-2) où I est le milieu de [BC], dont $\overrightarrow {AG} = - \overrightarrow {AI}$
Construisons G
3.b) Déterminons l’ensemble (E₁) 1,5 pt
$M \in {E_1} \Leftrightarrow 4M{A^2}$ $- M{B^2} -$ $M{C^2} = - 2{a^2}$
Soit $2M{G^2} + 4G{A^2}$ $- G{B^2} - G{C^2}$ $= - 2{a^2}$
$G{A^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}$ $= \frac{1}{2}{a^2}$,
$G{B^2} = G{C^2}$ $= \frac{5}{2}{a^2}$, nous obtenons après remplacement dans l’expression initiale $MG = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a$
D’où (E1) est un cercle de centre G et rayon $\frac{{\sqrt 2 }}{2}a$
4.a) Déterminons la forme complexe de S 0,5 pt
$S(A) = A$, $S(B) = C$ et
$z' = az + b \Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\(1 - 3i)a + b = - 2 \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}a = - i\\b = 1 + i\end{array} \right.$ d’où
$S:z' =$ $- z + 1 + i$
4.b) Déduisons-en les élément caractéristiques de S 0,5 pt
S est une similitude directe de rapport 1, de centre A et d’angle $- \frac{\pi }{2}$ ou (S est la rotation de centre A et d’angle $- \frac{\pi }{2}$)

Exercice II / 4 pts
1.a) Déterminons P₁ 0,75 pt
${P_1} = P(A \cap B)$ $= P(A) \times P(B)$ $= 0,02 \times 0,03$ $= 0,0006$
1.b) Déterminons P₂ 0,75pt
${P_2} = P(A) \times P(\overline B )$ $+ P(\overline A ) \times P(B)$ $= 0,0488$
2.a) Représentons le nuage de points de la série 1 pt
2.b) Déterminons les coordonnées du point moyen G 0,5 pt
Abscisse : $\frac{{\sum {xi} }}{7} = 11,71$
Ordonnée : $\frac{{\sum {{y_i}} }}{7} = 1,95$
2.c) Déterminons la covariante de x et y 1 pt
D’après la formule ${\mathop{\rm cov}} \left( {x,y} \right) \approx 0,91$

Problème / 11 pts
Partie A
Étudions les variations de f et dressons son tableau de variation 2 pts
$Df = R - \left\{ 1 \right\}$
$f'(x) =$ $\frac{{(x + 1)(x - 3)}}{{{{(x - 1)}^2}}}$
2. Déterminons les asymptotes de (C) 0,5 pt
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \infty$, donc la droite d’equation x=1 est asymptote à ( C )
$f(x) = x - 2$ $+ \frac{4}{{x - 1}}$ et $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (f(x) -$ $x + 2) = 0$ donc la droite d’équation $y = x - 2$ est asymptote oblique à la courbe ( C)
3. Montrons que I(1, -1) est centre de symétrie pour (C) 1 pt
Soit x un réel de Df ; montrons que 2-x appartient à Df
$x \in Df \Rightarrow$ $x \ne 1 \Leftrightarrow$ $- x \ne - 1$ $\Leftrightarrow - 2 - x$ $\ne 2 - 1$ $\Leftrightarrow 2 - x$ $\ne 1$ $\Rightarrow 2 - x$ $\in Df$
Montrons que $f(2 - x) +$ $f(x) =$ $- 2$
Donc I(1 ; -1) est centre de symétrie pour ( C)
4.a Traçons ( C ) 1 pt
4.b ) Calcule de l’aire demandée. 1 pt
$\int_{ - 1}^0 {(x - 2 - f(x))dx}$ $= - \int_{ - 1}^0 {\left( {\frac{4}{{x - 1}}} \right)} dx$ $= 4\ln 2$ cm²

Partie B 2,5 pts
1. Montrons par récurrence que pour tout entier n, $Un \ge 3$ 1 pt
${U_0} = 10 \ge 3$
Soit n entier naturel, supposons que $Un \ge 3$
Comme f est croissante $\left[ {3; + \infty } \right[$, on a $f(Un) \ge f(3)$ d’où ${U_{n + 1}} \ge 3$
D’après le principe de récurrence, $Un \ge 3$ pout tout entier n
2.a Montrons que ${U_n}$ est décroissante 0,5 pt
${U_{n + 1}} - {U_n} =$ $f({U_n}) - {U_n}$ $= {U_n} - 2$ $+ \frac{4}{{{U_n} - 1}} -$ ${U_n} = - 2$ $+ \frac{4}{{{U_n} - 1}}$
${U_n} \ge 3 \Leftrightarrow$ ${U_n} - 1 \ge$ $3 - 1 \Leftrightarrow$ ${U_n} - 1 \ge 2$
$\frac{1}{{{U_n} - 1}} \le \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{4}{{{U_n} - 1}}$ $\le 2 \Leftrightarrow - 2$ $+ \frac{4}{{{U_n} - 1}} \le$ $0 \Leftrightarrow {U_{n + 1}}$ $- {U_n} \le 0$
D’où (Un) est décroissante
2.b) Justifions la convergence de (Un) 0,25 pt
(Un) est minorée par 3 et est décroissante donc est convergente
3.a) Résoudre dans R l’équation $f(\alpha ) = \alpha$ 0,25 pt
$\alpha \ne 1,f(\alpha )$ $= \alpha \Leftrightarrow a$ $- 2 + \frac{4}{{\alpha - 1}}$ $= \alpha \Rightarrow \alpha$ $= 3$
3.b ) Determinons la limite de (Un) 0,5 pt
La suite (Un) est convergente, ${U_{n + 1}} = f({U_n})$ et ${U_n} \ge 3$ pour tout n
Comme f est une fonction continue sur $\left[ {3, + \infty } \right[$, la limite de (Un) est solution dans $\left[ {3, + \infty } \right[$, de l’equation f(x)=x. d’où cette limite vaut 3

Partie C 3 pts
Déterminons la fonction 1 pt
Supposons que la fonction affine $g:x \mapsto$ $ax + b$ est une solution de (D)
Nous avons alors
$g'' + 2g' +$ $g = - x - 1$ $\Rightarrow 2a + ax$ $+ b = - x$ $- 2$
On retrouve par identification a=-1 et b =0
D’où $g(x) = - x$
2. Demontrons que h-g est une solution de (D’) $\Leftrightarrow$h est solution de (D) 0,5 pt
$(h - g)'' +$ $2(h - g)' + h$ $- g = 0$ $\Leftrightarrow h'' + 2h'$ $+ h = g''$ $+ 2g' + g$
$h''(x) + 2h'(x)$ $+ h(x) =$ $- x - 2$ donc h est solution de (D)
3. Résolvons (D’) et en déduire la solution de h de (D) 1,5 pt
Une équation caractéristique de (D’) est ${r^2} + 2r$ $+ 1 = 0$ ; elle a une solution qui est -1.
Donc les solution de (D’) sont les fonctions numériques h-g telles que : $h(x) - g(x)$ $= (ax + b){e^{ - x}}$
D’où les solutions de (D) sont les fonctions numériques h telles que
$h(x) =$ $(ax + b){e^{ - x}} +$ $g(x) =$ $(ax + b){e^{ - x}}$ $- x$ alors $h(0) = b = - 1$
$h'(x) =$ $( - ax + a - b){e^{ - x}}$ $- 1$ d’où $h'(0) = (a - b)$ $- 1 = - 1$ ce qui donne a = -1 d’où
$h'(x) =$ $- (x + 1){e^{ - x}}$ $- x$