TD 2020 MATHEMATIQUES

ENNONCE

Exercice (5 points)
1. Déterminer les racines carrées du nombre complexe : \(3 + 4i\). 0,5pt
2. On considère dans C l'équation (E) : \({z^3} - (5 + 3i){z^2}\) \( + (5 + 8i)z\) \( - 1 - 5i = 0\)
a. Montrer que l'équation (E) admet une unique racine réelle \({z_0}\) que l’on déterminera. 0,5 pt
b. Résoudre dans C l’équation (E). 1 pt
3. Dans le plan affine euclidien, on considère le triangle ABC rectangle et isocèle en A tel que : AB = AC = a (avec a >0.)
a. Déterminer et construire le barycentre G des points pondérés (A, 4) ;(B; -1)et (c ; -1) 0,5 pt
b. Déterminer l'ensemble (E₁) des points M du plan tels que : \(4M{A^2} - M{B^2}\) \( - M{C^2} = 2{a^2}\) 1,5 pt
(On ne demande pas la construction de l'ensemble (E₁))
4. Le plan affine est muni d’un repère orthonormé direct \(\left( {O;\vec i,\vec j} \right)\), on considère les points A(l; 0),B(l; -3) et C(-2; 0).
a. Déterminer la forme complexe de la similitude directe S de centre A, qui transforme B en C. 0,5pt
b. Déduire les éléments caractéristiques de S. 0,5pt

Exercice 2 (4 points)
1. Un atelier comporte deux machines M₁ et M₂ fonctionnant de manière indépendante. Les probabilités de défaillance de chacune de ces machines sont respectivement 0,02 pour M₁ et 0,03 pour M2.
On considère les événements suivants :
A : « la machine M₁ est défaillante »
B : « la machine M₃ est défaillante »
Déterminer les probabilités :
a. P₁ d’avoir les deux machines défaillantes. 0,75 pt
b. P₂ d'avoir une seule machine défaillante. 0,75 pt
Il. L'on a étudié au cours d’un certain nombre d’années le capital de cet atelier en milliards de francs CFA et ses dépenses en publicité en millions. On obtient le tableau ci-dessous :

Capital (\(x_i\))	13	9	10	15	18	11	6
Dépenses en publicités (\(y_i\))	2,5	1,7	1,9	2,8	1,53	2,1	1,1

a. Représenter le nuage de points associé à cette série dans un repère orthogonal. 1 pt
b. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. 0,5 pt
c. Déterminer la covariance de x et y notée cov(xy). 1 pt

Problème (l1 points)
La partie C est indépendante des autres parties.

Partie A : (5,5 points)
f est une fonction numérique de la variable réelle x définie par \(f(x) = \) \(\frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\)
1. Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation. 2 pts
2. Déterminer les asymptotes de la courbe (C) de f. 0,5 pt
3- Montrer que le point I(l; -l) de rencontre des asymptotes est centre de symétrie de (C ). 1 pt
4. a. Tracer (C) dans un repère orthonormé \(\left( {O;\vec i,\vec j} \right)\), (unité sur les axes : 1cm). 1 pt
b. Calculer l’aire du domaine plan limité par (C), les droites d’équations \(y = x - 2\) , \(x = - 1\) et l'axe des ordonnées. 1 pt

Partie B : (2,5points)
\({\left( {{U_n}} \right)_{n \in N}}\) est une suite numérique définie par :
\(\left\{ \begin{array}{l}{U_0} = 10\\{U_{n + 1}} = f\left( {{U_n}} \right)\end{array} \right.\)
1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, \({{U_n} \ge 3}\) 1 pt
2. a. Montrer que la suite (Un) est décroissante. 0,5pt
b. (Un) est-elle convergente ? Justifier votre réponse. 0,25pt
3. a. Résoudre dans R l’équation \(f(a) = a\). 0,25pt
b. Trouver la limite de \(\left( {{U_n}} \right)\) quand n tend vers l’infini . 0,5pt

Partie C : (3points)
On considère l’équation différentielle (D) : \(y'' + 2y' + \) \(y = - x - 2\)
1. Déterminer une fonction affine g solution de (D). l pt
2. Montrer qu’une fonction h deux fois dérivable sur R est solution de (D) si et seulement si la fonction \(h - g\) est solution de l’équation différentielle (D’): \(y'' + 2y'\) \( + y = 0\) 0,5pt
3. Résoudre l’équation différentielle (D’) et en déduire la solution h de (D) vérifiant
\(\left\{ \begin{array}{l}h(0) = - 1\\h'(0) = - 1\end{array} \right.\) 1,5 pt

CORRECTION

Exercice I / 5 pts
1. Déterminons les racines carrées de \(3 + 4i\) 0,5 pt
Soit \(u = a - ib\) avec \((a,b \in {R^2})\) un nombre complexe tel que \({u^2} = 3 + 4i\), après développement nous obtenons \({u^2} = {a^2} - {b^2}\) \( + 2iab\) et
\(\left| {{u^2}} \right| = {a^2} + {b^2}\) \( = \sqrt {{3^2} + {4^2}} \) soit le système d’équation \(\left\{ \begin{array}{l}2ab = 4\\{a^2} - {b^2} = 3\\{a^2} + {b^2} = 5\end{array} \right.\) ainsi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.\) ou \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 1\end{array} \right.\) 0,5pt
2.a) Montrons que (E) admet une unique solution réelle z₀ 0,5 pt
x est une solution réelle de (E )
\({x^3} - (5 + 3i){x^2}\) \( + (5 + 8i)x\) \( - 1 - 5i = 0\) en séparant la partie réelle de la partie imaginaire nous avons :
Partie réelle
\({x^3} - 5{x^2} + \) \(5x - 1 = 0\)
Partie imaginaire
\(3{x^2} - 8x\) \( + 5 = 0\) de solution \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{5}{3}\end{array} \right.\) ainsi, \(x = 1\) vérifie l’équation découlant de la partie réelle, nous pouvons donc conclure que \({z_0} = 1\) est solution unique réelle.
2.b) Résolutions de l’équation (E ) 1 pt
\({z^3} - (5 + 3i){z^2}\) \( + (5 + 8i)z\) \( - 1 - 5i = \) \((z - 1)\) \(({z^2} + az + b)\)
Après développement du second membres, nous obtenons par identification \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 4 - 3i\\b = 1 + 5i\end{array} \right.\)
D’où \(\left\{ \begin{array}{l}z0 = 1\\{z_1} = 1 + i\\{z_2} = 3 + 2i\end{array} \right.\)
3.a) Détermination de G 0,5 pt
G est barycentre des points (A,4) et (I,-2) où I est le milieu de [BC], dont \(\overrightarrow {AG} = - \overrightarrow {AI} \)
Construisons G
3.b) Déterminons l’ensemble (E₁) 1,5 pt
\(M \in {E_1} \Leftrightarrow 4M{A^2}\) \( - M{B^2} - \) \(M{C^2} = - 2{a^2}\)
Soit \(2M{G^2} + 4G{A^2}\) \( - G{B^2} - G{C^2}\) \( = - 2{a^2}\)
\(G{A^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\) \( = \frac{1}{2}{a^2}\),
\(G{B^2} = G{C^2}\) \( = \frac{5}{2}{a^2}\), nous obtenons après remplacement dans l’expression initiale \(MG = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\)
D’où (E1) est un cercle de centre G et rayon \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}a\)
4.a) Déterminons la forme complexe de S 0,5 pt
\(S(A) = A\), \(S(B) = C\) et
\(z' = az + b \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\(1 - 3i)a + b = - 2 \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a = - i\\b = 1 + i\end{array} \right.\) d’où
\(S:z' = \) \( - z + 1 + i\)
4.b) Déduisons-en les élément caractéristiques de S 0,5 pt
S est une similitude directe de rapport 1, de centre A et d’angle \( - \frac{\pi }{2}\) ou (S est la rotation de centre A et d’angle \( - \frac{\pi }{2}\))

Exercice II / 4 pts
1.a) Déterminons P₁ 0,75 pt
\({P_1} = P(A \cap B)\) \( = P(A) \times P(B)\) \( = 0,02 \times 0,03\) \( = 0,0006\)
1.b) Déterminons P₂ 0,75pt
\({P_2} = P(A) \times P(\overline B )\) \( + P(\overline A ) \times P(B)\) \( = 0,0488\)
2.a) Représentons le nuage de points de la série 1 pt
2.b) Déterminons les coordonnées du point moyen G 0,5 pt
Abscisse : \(\frac{{\sum {xi} }}{7} = 11,71\)
Ordonnée : \(\frac{{\sum {{y_i}} }}{7} = 1,95\)
2.c) Déterminons la covariante de x et y 1 pt
D’après la formule \({\mathop{\rm cov}} \left( {x,y} \right) \approx 0,91\)

Problème / 11 pts
Partie A
Étudions les variations de f et dressons son tableau de variation 2 pts
\(Df = R - \left\{ 1 \right\}\)
\(f'(x) = \) \(\frac{{(x + 1)(x - 3)}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)
2. Déterminons les asymptotes de (C) 0,5 pt
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \infty \), donc la droite d’equation x=1 est asymptote à ( C )
\(f(x) = x - 2\) \( + \frac{4}{{x - 1}}\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (f(x) - \) \(x + 2) = 0\) donc la droite d’équation \(y = x - 2\) est asymptote oblique à la courbe ( C)
3. Montrons que I(1, -1) est centre de symétrie pour (C) 1 pt
Soit x un réel de Df ; montrons que 2-x appartient à Df
\(x \in Df \Rightarrow \) \(x \ne 1 \Leftrightarrow \) \( - x \ne - 1\) \( \Leftrightarrow - 2 - x\) \( \ne 2 - 1\) \( \Leftrightarrow 2 - x\) \( \ne 1\) \( \Rightarrow 2 - x\) \( \in Df\)
Montrons que \(f(2 - x) + \) \(f(x) = \) \( - 2\)
Donc I(1 ; -1) est centre de symétrie pour ( C)
4.a Traçons ( C ) 1 pt
4.b ) Calcule de l’aire demandée. 1 pt
\(\int_{ - 1}^0 {(x - 2 - f(x))dx} \) \( = - \int_{ - 1}^0 {\left( {\frac{4}{{x - 1}}} \right)} dx\) \( = 4\ln 2\) cm²

Partie B 2,5 pts
1. Montrons par récurrence que pour tout entier n, \(Un \ge 3\) 1 pt
\({U_0} = 10 \ge 3\)
Soit n entier naturel, supposons que \(Un \ge 3\)
Comme f est croissante \(\left[ {3; + \infty } \right[\), on a \(f(Un) \ge f(3)\) d’où \({U_{n + 1}} \ge 3\)
D’après le principe de récurrence, \(Un \ge 3\) pout tout entier n
2.a Montrons que \({U_n}\) est décroissante 0,5 pt
\({U_{n + 1}} - {U_n} = \) \(f({U_n}) - {U_n}\) \( = {U_n} - 2\) \( + \frac{4}{{{U_n} - 1}} - \) \({U_n} = - 2\) \( + \frac{4}{{{U_n} - 1}}\)
\({U_n} \ge 3 \Leftrightarrow \) \({U_n} - 1 \ge \) \(3 - 1 \Leftrightarrow \) \({U_n} - 1 \ge 2\)
\(\frac{1}{{{U_n} - 1}} \le \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \frac{4}{{{U_n} - 1}}\) \( \le 2 \Leftrightarrow - 2\) \( + \frac{4}{{{U_n} - 1}} \le \) \(0 \Leftrightarrow {U_{n + 1}}\) \( - {U_n} \le 0\)
D’où (Un) est décroissante
2.b) Justifions la convergence de (Un) 0,25 pt
(Un) est minorée par 3 et est décroissante donc est convergente
3.a) Résoudre dans R l’équation \(f(\alpha ) = \alpha \) 0,25 pt
\(\alpha \ne 1,f(\alpha )\) \( = \alpha \Leftrightarrow a\) \( - 2 + \frac{4}{{\alpha - 1}}\) \( = \alpha \Rightarrow \alpha \) \( = 3\)
3.b ) Determinons la limite de (Un) 0,5 pt
La suite (Un) est convergente, \({U_{n + 1}} = f({U_n})\) et \({U_n} \ge 3\) pour tout n
Comme f est une fonction continue sur \(\left[ {3, + \infty } \right[\), la limite de (Un) est solution dans \(\left[ {3, + \infty } \right[\), de l’equation f(x)=x. d’où cette limite vaut 3

Partie C 3 pts
Déterminons la fonction 1 pt
Supposons que la fonction affine \(g:x \mapsto \) \(ax + b\) est une solution de (D)
Nous avons alors
\(g'' + 2g' + \) \(g = - x - 1\) \( \Rightarrow 2a + ax\) \( + b = - x\) \( - 2\)
On retrouve par identification a=-1 et b =0
D’où \(g(x) = - x\)
2. Demontrons que h-g est une solution de (D’) \( \Leftrightarrow \)h est solution de (D) 0,5 pt
\((h - g)'' + \) \(2(h - g)' + h\) \( - g = 0\) \( \Leftrightarrow h'' + 2h'\) \( + h = g''\) \( + 2g' + g\)
\(h''(x) + 2h'(x)\) \( + h(x) = \) \( - x - 2\) donc h est solution de (D)
3. Résolvons (D’) et en déduire la solution de h de (D) 1,5 pt
Une équation caractéristique de (D’) est \({r^2} + 2r\) \( + 1 = 0\) ; elle a une solution qui est -1.
Donc les solution de (D’) sont les fonctions numériques h-g telles que : \(h(x) - g(x)\) \( = (ax + b){e^{ - x}}\)
D’où les solutions de (D) sont les fonctions numériques h telles que
\(h(x) = \) \((ax + b){e^{ - x}} + \) \(g(x) = \) \((ax + b){e^{ - x}}\) \( - x\) alors \(h(0) = b = - 1\)
\(h'(x) = \) \(( - ax + a - b){e^{ - x}}\) \( - 1\) d’où \(h'(0) = (a - b)\) \( - 1 = - 1\) ce qui donne a = -1 d’où
\(h'(x) = \) \( - (x + 1){e^{ - x}}\) \( - x\)