TC 2020 PHYSIQUE

ENNONCE

Exercice 1. Mouvement dans les champs de force uniforme / 6 points
Partie 1 : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme / 3,75 points
On se propose d'étudier un coup franc direct au football en faisant les hypothèses simplificatrices suivantes : le ballon (B), considéré comme un point matériel de masse m. est posé sur le sol horizontal a la distance D = 25 rn de la ligne de but ; le joueur tirant le coup franc donne au ballon une vitesse initiale dans le plan vertical contenant le point O. de valeur ${v_o}$ et inclinée sur l'horizontale d'un angle $\alpha = {30^o}$. On néglige l'action de l'air. On prendra g = 10 m/s².
1. Appliquer le théorème du centre d'inertie au ballon (B) dans le repère d'espace $\left( {O;x,y,z} \right)$ où O est la position du centre d'inertie du ballon à l'instant où il est trappe et établir les équations horaires de son mouvement pour t > 0. 1,25 pt
On prendra t = 0 à l'instant où le joueur trappe le ballon.
2. Le mur formé par les défenseurs adverses à une hauteur h₁ = 1,80 rn et se trouve à la distance d = 9 m de la position initiale du ballon. Entre quelles limites V_o doit-elle être comprise pour que le ballon passe au-dessus du mur et retombe exactement sur la ligne de but ? 2,5 pt

Partie 2 : Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme / 2,25 points
Un électron de masse m et de charge q pénètre avec une vitesse ${\vec v}$ dans une région où règne un champ magnétique uniforme ${\vec B}$ perpendiculaire à ${\vec v}$.
1. Faire un schéma sur votre feuille de composition, comportant ${\vec v}$(horizontale), ${\vec B}$ (perpendiculaire au plan de la feuille), et ${\vec F}$ (la force de Lorentz). 0.5pt
2. Montrer que le mouvement de l'électron à l'intérieur de cette région est circulaire uniforme. En déduire l'expression du rayon R de sa trajectoire. 1,25 pt
3. Calculer la période T du mouvement de l'électron dans la région. 0,5pt
Données : $B = 1,3 \times {10^{ - 3}}$ T ; $m = 9,1 \times {10^{ - 31}}$ kg ; $q = - 1,6 \times {10^{ - 19}}$ C; $v = 1,5 \times {10^7}$ m/s

Exercice 2 : Systèmes oscillants / 6 points
Le montage ci-contre comprend, montés en série, un condensateur de capacité $C = 0,10\mu F$ et une bobine d’inductance L = 1,0 H il et de résistance négligeable
À la date t = 0, le condensateur, initialement chargé sans une tension Uo = 12 V, est connecté à la bobine. On note i(t) la valeur algébrique de l'intensité du courant qui traverse le circuit ainsi constitué à une date t > 0 et q(t) la charge portée par l'armature du condensateur reliée au point A.1. Établir l'équation différentielle qui régit l'évolution de la charge q (t) pour l > o, 1 pt
2. Vérifier que les solutions à cette équation différentielle sont de la forme : $q(t) = {Q_m}$ $\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)$ où ${Q_m}$, $\omega$ et $\varphi$ sont des constantes dépendant des conditions initiales et de la structure du circuit qu'on déterminera. 1,75 pt
3. On se propose d'étudier révolution temporelle des énergies emmagasinées dans le condensateur et dans la bobine.
3.1. Déterminer l'expression littérale de l'intensité i(t) du courant électrique en fonction du temps. 0,5 pt
3.2. Déterminer les expressions de l’énergie ${E_c}\left( t \right)$ emmagasinée dans le condensateur et l'énergie ${E_L}\left( t \right)$ emmagasinée dans la bobine en fonction du temps. 1pt
3-3. Montrer qu'à chaque instant l'énergie totale $E\left( t \right) = {E_c}\left( t \right)$ $+ {E_L}\left( t \right)$ est constante. 0,5pt
3.4. Donner les allures des trois courues représentatives de E, E_c et E_L sur la première période. 2,5 pt

Exercice 3 : Phénomènes ondulatoire et corpusculaire / 4 points
NB : Les parties 1 et 2 sont indépendantes
Partie l : Phénomène ondulatoire / 3 points
Une lumière monochromatique, issue d'une lente horizontale F, tombe sur un écran E’ portant deux fentes fines horizontales F₁, F₂ parallèles à F et équidistantes de F. La distance de F à E’ est d = 1 m et la distance entre les milieux des fentes F₁ et F₂ est $a = 1$ mm
Les fentes F1 et F2 éclairent un deuxième écran E, parallèle à E’ à une distance D = 1,20 m de E’. On observe alors sur l'écran E une figure d'interférence.
1. La distance qui sépare les milieux de deux franges brillantes consécutives est de 0,6 mm. En déduire la valeur $\lambda$ de la longueur d'onde de la lumière monochromatique issue de F. 1pt
2. On déplace la tente F en F’, parallèlement à elle-même de x' = 1,1 mm vers F₁. Dans quel sens et de combien se déplace la frange centrale ? 1pt
3. On rend à la fente F sa place primitive et on place devant la fente F1 une lame à faces parallèles d'épaisseur $e = 2 \times {10^{ - 6}}$ m et taillée dans un matériau transparent d'indice de réfraction n =1,55 pour la radiation utilisée.
Dans quel sens et de combien se déplace la frange centrale sur l'écran E 1 pt

Partie 2 : Phénomène corpusculaire / 1 point
L, cobalt 60 est un radioélément très utilisé en médecine, notamment pour la cobaltothérapie. Il est obtenu par bombardement neutronique du cobalt « naturel ».
1 Le cobalt 60 est émetteur ${\beta ^ - }$.
Écrire la réaction de désintégration radioactive correspondante. On donne l'extrait de classification périodique suivante : 0,5 pt
${}_{25}Mn$, ${}_{26}Fe$, ${}_{27}Co$, ${}_{28}Ni$, ${}_{29}Cu$
2. Un centre hospitalier dispose d'un échantillon de « cobalt 60 »de masse $mo = 1\mu g$.
Déterminer le nombre de noyau No contenus dans l'échantillon à la date t = 0. 0,5p|
On donne : Constante d'Avogadro ${N_A} = 6,02 \times {10^{23}}$ mol^-1 ; masse molaire du ${}^{60}Co$ =60g/mol

Exercice 4 : Exploitation des résultats d'observations astronomiques / 4 points
En 1809, l'invention du télescope par Galilée permet l'observation d'objets invisibles a l'œil nu. Galilée découvre que Jupiter est entouré de satellites, il les observe longuement. On peut extraire des données ainsi rassemblées, le tableau ci-dessous :

Noms	lO	Europe	Ganymède	Callisto
T(en heures)	42,5	85,2	171,7	400,5
R(en 105 km)	4,22	6,71	10,7	18,85

On se propose à l'aide de ces données de déterminer la masse de Jupiter. Le mouvement d'un satellite de masse m est étudié dans un référentiel considéré comme galiléen, ayant son origine au centre de Jupiter et ses axes dirigés vers des étoiles lointaines, considérées comme tires. On supposera que Jupiter et ses satellites ont une répartition de masse à symétrie sphérique.
On admet que le satellite se déplace avec un mouvement uniforme sur une orbite circulaire, a la distance R du centre de Jupiter.
1. En appliquant la deuxième loi de Newton sur le mouvement, déterminer la valeur v de la vitesse d'un satellite en fonction de R, de M (masse de Jupiter) et de G (constante de gravitation universelle). 0,75pt
2. En déduire l'expression de la période de révolution T du satellite et montrer que le rapport $\frac{{{T^2}}}{{{R^3}}}$ est constant. 0,75 pt
3. Construire sur le papier millimétré de l'annexe à remettre avec la copie, le graphe donnant les variations de ${{T^2}}$ en fonction de ${{R^3}}$. Conclure. 1,5pt
Échelle : abscisses : 1 cm pour 5x10¹⁷ km³ ; ordonnées : 1 cm pour 10⁴ h².
4. Déduire du graphe une valeur de la masse M de Jupiter. 1pt
On donne : G = 6,67 x 10^-11 N.m₂.kg^-2.

CORRECTION

Exercice I : Mouvements dans les champs de force uniforme / 6 points
Partie 1 : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme / 3,75 points
1. Établissons les équations horaires du mouvement :
Système : Le ballon, dans le référentiel terrestre.
Force appliquée : Le poids $\overrightarrow P$ du ballon
TCI : $\sum {{{\overrightarrow F }_{ext}} = m\overrightarrow {{a_G}} }$
Apres projection de cette relation suivant les différents axes de coordonnés, nous avons :
$\overrightarrow {{a_G}} \left\{ \begin{array}{l}{a_x} = 0\\{a_y} = - g\\{a_z} = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow {{v_G}} \left\{ \begin{array}{l}{v_x} = {v_0}\cos \alpha \\{v_y} = - gt + {v_o}\sin \alpha \\vz = 0 \end{array} \right.$
Soit : $\overrightarrow {OG} \left\{ \begin{array}{l} x = {v_0}t\cos \alpha \\ y = - \frac{1}{2}g{t^2} + {v_0}t\sin \alpha \\ z = 0 \end{array} \right.$ 1,25 pt
2. Limites entre lesquelles doit être comprise ${v_0}$ : 2,5 pts
Condition pourque le ballon passe au-dessus du mur : $y \succ {h_1}$ pour $x = d$.
Condition pour que le ballon retombe exactement sur la ligne de but : $y = 0$ pour $x = D$
Utilisons la première condition : l’équation de la trajectoire $y = - \frac{1}{2}g$ $\frac{{{x^2}}}{{v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}$ $+ x\tan \alpha$ devient $- \frac{1}{2}g$ $\frac{{{d^2}}}{{v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}$ $+ d\tan \alpha$ $\succ {h_1}$ avec ${v_0} \succ 12,6$ m/s
Utilisons la deuxième condition $- \frac{1}{2}g\frac{{{D^2}}}{{v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}$ $+ D\tan \alpha = 0$ avec ${v_0} = 17$ m/s

Partie 2 : Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme / 2,25 points
1. Schéma : 0,5 pt
2. Montrons que le mouvement à l'intérieur de cette région est circulaire uniforme :
Système : l’électron , dans le référentiel terrestre
Force appliquée : la force de Lorentz $\overrightarrow F$, le poids $\overrightarrow P$ de l'électron étant négligeable.
TCI: $\overrightarrow F = m\overrightarrow {{a_G}}$ 0,25 pt
$\overrightarrow {qv} \wedge \overrightarrow B =$ $m\overrightarrow {{a_G}}$ d’ou $\overrightarrow {{a_G}} = \frac{{\overrightarrow {qv} \wedge \overrightarrow B }}{m}$
cette relation montre que $\overrightarrow {{a_G}}$ et $\overrightarrow {{v_G}}$ sont orthogonaux.
L'accélération est donc normale. Donc le mouvement est uniforme. 0,5 pt

De plus, v, B et q sont constants, ceci signifie que le module de l'accélération normale est constant d’où le rayon de courbure est constant, le mouvement est circulaire.
Ainsi, le mouvement est circulaire uniforme. 0,25 pt
Expression du rayon R
${a_G} = {a_n} =$ $\frac{1}{m}\left| q \right|vB$ avec ${a_n} = \frac{{v_G^2}}{R}$ nous obtenons
$R = \frac{{mv}}{{\left| q \right|B}}$ 0,5 pt
3. Calcul de la période T du mouvement de l'électron dans la région :
$T = \frac{{2\pi }}{\omega } \Rightarrow$ $\omega = \frac{{2\pi }}{T} =$ $\frac{{{v^2}}}{R} = \frac{{\left| q \right|B}}{m}$
$T = \frac{{2\pi m}}{{\left| q \right|B}}$ $= 2,75 \times {10^{ - 8}}$ s 0,25 x2= 0,5 pt

Exercice 2 : Système oscillant / 6 points
1. Équation différentielle
Soient ${u_C}$ la tension aux bornes du condensateur et ${u_L}$ la tension aux bornes de la bobine à une date donnée. En respectant la convention récepteur et la loi d'additivité des tensions on a :
${u_C} + {u_L} = 0$ $\Rightarrow \frac{q}{C} +$ $L\frac{{di}}{{dt}} = 0$ avec $i = \frac{{dq}}{{dt}}$ 0,5 pt
Nous avons : $\frac{{{d^2}q}}{{d{t^2}}} + \frac{1}{{L.C}}q$ $= 0$ 0,5 pt
2- Vérifions que q(t) : $q(t) =$ ${Q_m}\cos (\omega t + \varphi )$ est solution.
$\dot q(t) =$ $- \omega {Q_m}\sin (\omega t + \varphi )$
$\ddot q(t) =$ $- {\omega ^2}{Q_m}\cos (\omega t + \varphi )$ $\Leftrightarrow \ddot q(t) =$ $- {\omega ^2}q(t)$
Par dentification, nous trouvons $\omega = \frac{1}{{\sqrt {L.C} }}$ $= 3,16 \times {10^3}$ rad/s
${Q_m} = C{U_0}$ $= 1,2 \times {10^{ - 6}}C$ 0,25 pt
$q(0) = {Q_m}\cos \varphi$ $= {Q_m} \Rightarrow \varphi$ $= 0$ 0,5 pt
3.1 Expression littérale de i(t)
$i(t) = \frac{{dq(t)}}{{dt}}$ $= - \omega {Q_m}\sin \omega t$ 0,5 pt
3-2 Détermination des expressions de ${E_C}(t)$ et ${E_L}(t)$
${E_C}(t) = \frac{{{q^2}}}{{2C}}$ $= \frac{{Q_m^2}}{{2C}}{\cos ^2}$ $\left( {\frac{1}{{\sqrt {LC} }}t} \right)$ 0,5 pt
${E_L}(t) =$ $\frac{{L.{i^2}}}{2} =$ $\frac{{L{\omega ^2}Q_m^2}}{2}$ ${\sin ^2}\left( {\frac{1}{{\sqrt {LC} }}t} \right)$ $= \frac{{Q_m^2}}{{2C}}$ ${\sin ^2}\left( {\frac{1}{{\sqrt {LC} }}t} \right)$ 0,5 pt
3-3 Montrons que $E = {E_C}(t)$ $+ {E_L}(t)$ est constante
$E = {E_C}(t)$ $+ {E_L}(t) =$ $\frac{{Q_m^2}}{{2C}}$ $= cte$
E est constante 0,5 pt
3.4 Allure des énergies
Exercice 3 : Phénomènes ondulatoires et corpusculaires / 4points
Partie 1 : Phénomènes ondulatoires / 6 points
1. Détermination de la longueur d'onde : $i = \frac{{\lambda D}}{a} \Rightarrow$ $\lambda = \frac{{a.i}}{D}$ $= 5 \times {10^{ - 7}}$ m 0,5 x 2 = 1 pt
Sens et valeur du déplacement de la frange centrale.
En déplaçant la fente F, le système de franges subit une translation de sens opposé au déplacement de F. 0,5 pt
Valeur du déplacement :
Soit x l'abscisse d’un point de l’écran : $\Delta '(x) = \frac{{ax'}}{d}$ $+ \frac{{a{x_0}}}{D}$ Soit ${{x_0}}$ l’abscisse de la frange centrale $\frac{{ax'}}{d} + \frac{{a{x_0}}}{D} = 0$
Le déplacement est $\left| {{x_0}} \right| = \frac{{Dx'}}{d}$ $= 1,32$ mm 0,5 pt
3. Sens et valeur du déplacement de la frange centrale
En couvrant la fente ${F_1}$ le système de franges subit une translation vers le côté où se trouve ${F_1}$ 0,5 pt
Valeur du déplacement :
En fonction de la position de ${F_1}$ on a : $\Delta ''(x) = \frac{{ax}}{D}$ $- e(n - 1)$ ou $\Delta ''(x) = \frac{{ax}}{D}$ $+ e(n - 1)$, x étant l'abscisse du point considéré sur l'écran
Soit ${x_0}$ l'abscisse de la frange centrale : $\Delta ''(x) = 0$
Le déplacement est $\left| {{x_0}} \right| = \frac{{eD(n - 1)}}{a}$ = 1,32 mm 0,5 pt

Partie 2 Phénomènes corpusculaires / 1 pt
Équation bilan de la désintégration :
${}_{27}^{60}Co \to$ ${}_{ - 1}^0e + {}_{26}^{60}Ni$
Calcul de ${N_0}$ : ${N_0} = \frac{{{m_0}}}{M} \times {N_A}$ $= {10^{16}}$ noyaux 0,5 pt

Exercice 4 : Exploitation des résultats d'observations
1- Satellite de Jupiter
Deuxième loi de Newton :
Système : Satellite ; Référentiel : décrit supposé galiléen
Force appliquée : Force gravitationnelle $\overrightarrow F$
$\overrightarrow F = m\overrightarrow {{a_G}}$ $\Leftrightarrow G\frac{{Mm}}{{{R^2}}}\overrightarrow n$ $= m{a_G}\overrightarrow n$ avec ${a_G} = {a_n}$ $= \frac{{{v^2}}}{R}$ d’où $G\frac{{Mm}}{{{R^2}}} = m\frac{{{v^2}}}{R}$ $\Rightarrow v = \sqrt {\frac{{GM}}{R}}$ 0,75 pt
2 Expression de la période T :
$vT = 2\pi R$ $\Leftrightarrow \sqrt {\frac{{GM}}{R}} .T$ $= 2\pi R \Rightarrow$ $T = 2\pi \sqrt {\frac{{{R^3}}}{{GM}}}$ 0,5 pt
Montrons que $\frac{{{T^2}}}{{{R^3}}}$ est constant :
$T = 2\pi \sqrt {\frac{{{R^3}}}{{GM}}}$ $\Rightarrow \frac{{{T^2}}}{{{R^3}}} =$ $\frac{{4{\pi ^2}}}{{GM}} = cte$ car G et M sont constantes. 0,25 pt
3 Complétons le tableau 1,5 pt

Noms	I0	Europe	Ganymède	Callisto
T(en heures)	42,5	85,2	171,7	400,5
R(en 105 km)	4,22	6,71	10,7	18,83
T2(X104h2)	0,18	0,73	2,95	16
R3( X 1017 km3)	0,75	3,0	12,25	66,77

Conclusion : ${{T^2}}$ est proportionnelle à ${{R^3}}$
4. Masse de Jupiter :
Soit p, la pente de la droite obtenue $p = \frac{{\Delta {T^2}}}{{\Delta {R^3}}}$ $= \frac{{4{\pi ^2}}}{{GM}}$ 0,25 pt
Sur le graphe, on a : $\Delta {T^2} = 7,2 \times {10^4}$ $\times {3600^2}$ et $\Delta {R^3} = 30 \times {10^{17}}$ $\times {10^9}$
$p = 3,11 \times {10^{ - 16}}$ ${s^2}/{m^3}$ 0,5 pt
$p = \frac{{4{\pi ^2}}}{{GM}} \Rightarrow$ $M = \frac{{4{\pi ^2}}}{{p.G}}$ $= 1,9 \times {10^{27}}kg$ 0,25 pt